Question

【題目】設函數f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－，3a＞2c＞2b，求證：

(1)a＞0，且－3＜＜－；

(2)函數f(x)在區間(0,2)內至少有一個零點；

(3)設x1，x2是函數f(x)的兩個零點，則≤|x1－x2|＜.

Answer 1

【答案】（1）－3＜＜－（2）函數f(x)在區間(0,2)內至少有一個零點．（3）見解析

【解析】

(1)由已知得f(1)＝a＋b＋c＝－，∴3a＋2b＋2c＝0，

又3a>2c>2b，∴a＞0，b＜0.

又2c＝－3a－2b，∴3a＞－3a－2b＞2b，

∵a＞0，∴－3＜＜－.

(2)由已知得f(0)＝c，f(2)＝4a＋2b＋c＝a－c，

①當c＞0時，f(0)＝c＞0，f(1)＝－＜0，

∴函數f(x)在區間(0,1)內至少有一個零點；

②當c≤0時，f(1)＝－＜0，f(2)＝a－c＞0，

∴函數f(x)在區間(1,2)內至少有一個零點．

綜上所述，函數f(x)在區間(0,2)內至少有一個零點．

(3)∵x1，x2是函數f(x)的兩個零點，

∴x1＋x2＝－，x1x2＝＝－－，

∴|x1－x2|＝＝，

∵－3＜＜－，∴≤|x1－x2|＜.