Question

【題目】有一種大型商品，A，B兩地都有出售，且價格相同，某地居民從兩地之一購得商品后，運回的費用是：每單位距離A地的運費是B地運費的3倍．已知A，B兩地相距10 km，顧客選A或B地購買這件商品的標準是：包括運費和價格的總費用較低．求A，B兩地的售貨區域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內、曲線外的居民應如何選擇購貨地點．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

以A，B所確定的直線為x軸，線段AB的中點O為坐標原點，建立平面直角坐標系，設某地P的坐標為(x，y)，且P地居民選擇A地購買商品便宜，由題得，化簡即得解.

如圖所示，以A，B所確定的直線為x軸，線段AB的中點O為坐標原點，建立平面直角坐標系，則A(－5,0)，B(5,0)．

設某地P的坐標為(x，y)，且P地居民選擇A地購買商品便宜，

并設A地的運費為3a元/km，B地的運費為a 元/km，

∵價格＋QA地運費<價格＋QB地運費，

∴，

∵a>0，∴，

兩邊平方得9(x＋5)2＋9y2<(x－5)2＋y2，

即．

∴以點C為圓心，為半徑的圓是這兩地的售貨區域的分界線．

圓C內的居民從A地購貨便宜；圓C外的居民從B地購貨便宜；圓C上的居民從A，B兩地購貨的總費用相等，可隨意從A，B兩地之一購貨．