Question

【題目】已知函數， .

（1）若關于的不等式在上恒成立，求的取值范圍；

（2）設函數，若在上存在極值，求的取值范圍，并判斷極值的正負.

Answer 1

【答案】（1）;（2）見解析.

【解析】【試題分析】（１）先分離參數，再構造函數運用導數求函數的最值；（２）借助導數與函數的單調性之間的關系，運用分類整合思想進行分析求解：

（1）由，得，即在上恒成立.

設函數， .則.

設.則.易知當時， .

∴在上單調遞增，且.即對恒成立.

∴在上單調遞增，∴當時， .

∴，即的取值范圍是.

（2）， ，∴.

設，則.由，得.

當時， ；當時， . ∴在上單調遞增，在上單調遞減.且， ， .顯然.

結合函數圖像可知，若在上存在極值，則或.

（�。┊�，即時，

則必定，使得，且.

當變化時， ， ， 的變化情況如下表：

		極小值		極大值

∴當時， 在上的極值為，且.

∵.

設，其中， .

∵，∴在上單調遞增， ，當且僅當時取等號.

∵，∴.∴當時， 在上的極值.

（ⅱ）當，即時，則必定，使得.

易知在上單調遞增，在上單調遞減.此時， 在上的極大值是，且.

∴當時， 在上極值為正數.綜上所述：當時， 在上存在極值.且極值都為正數.

注：也可由，得.令后再研究在上的極值問題.