Question

【題目】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C的離心率為，且橢圓C過點(diǎn).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）若直線l：與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；定點(diǎn)坐標(biāo)為

【解析】

(1) 由題意結(jié)合離心率首先確定的關(guān)系,然后結(jié)合橢圓經(jīng)過的點(diǎn)即可確定橢圓方程；

(2) 把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系,再利用以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)D,可得,即可得出與的關(guān)系,從而得出答案.

解：(1)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），,橢圓C過點(diǎn),,解得

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)，，直線代入橢圓方程得

得，

，即，則

,.

又，

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓過橢圓的右焦點(diǎn)，

∴，即，∴，

∴，∴.

解得，，且均滿足，

當(dāng)時(shí)，l的方程為，直線過定點(diǎn)，與已知矛盾；

當(dāng)時(shí)，l的方程為，直線過定點(diǎn).

所以，直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.