Question

△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosC+

1

2

c=b．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的周長為3，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

∵acosC+

1

2

c=b，
∴sinAcosC+

1

2

sinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
整理得：

1

2

sinC=cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=

1

2

，
∵A為三角形內角，
∴A=60°；
（2）∵A=60°，
∴a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
∴a≥

bc

，
∴3=a+b+c≥

bc

+b+c≥

bc

+2

bc

=3

bc

，即bc≤1，
∴S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

4

，當且僅當b=c=a=1時，取得最大值

3

4

．