【題目】已知：函數
.
（1）此函數在點
處的切線與直線
平行，求實數
的值；
（2）在（1）的條件下，若
，
恒成立，求
的最大值.
【答案】（1）
； （2）3.
【解析】
（1）對函數進行求導，求出在點
處切線的斜率，求出直線
的斜率，根據兩直線平行，得到等式，求出實數
的值。
（2）方法一：在
條件下，先取特殊值滿足不等式，求出
的最大值，再證明當時，不等式恒成立；
方法二：當時，
恒成立，轉化為
對恒成立，求
的最小值大于.通過二次求導法，求出的最小值的取值范圍，最后求出的最大值。
（1）
點處的切線與直線平行
（2）法一：當時，恒成立，
令
，有
，
又為正整數，
的最大值不大于
.
下面證明當
時，
恒成立，
即證當時，
恒成立.
令
，
則
，當
時，
；
當
時，
，
當
時，
取得極小值
.
當時，恒成立.
法二：當時，恒成立，
即對恒成立.
即的最小值大于.
記
，
則
，
在
上連續遞增，
又
，
存在唯一實根
，且滿足：
，
由
時，
，
；
時，，
知；
的最小值為
的最大值為3,
的最大值為3.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖是一種加熱食物的太陽灶，上面裝有可旋轉的拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，盛食物的容器放在拋物線的焦點處，容器由若干根等長的鐵筋焊接在一起的架子支撐．已知鏡口圓的直徑為8m，鏡深1m．
（1）建立適當的坐標系，求拋物線的方程和焦點的位置；
（2）若把盛水和食物的容器近似地看作點，試求每根鐵筋的長度．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點
為曲線
的一個焦點， 
為坐標原點，點
為拋物線
上任意一點，過點
作
軸的平行線交拋物線的準線于
，直線
交拋物線于點
.
（Ⅰ）求拋物線
的方程；
（Ⅱ）若
、
、
三個點滿足
，求直線
的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環．據此，某網站退出了關于生態文明建設進展情況的調查，調查數據表明，環境治理和保護問題仍是百姓最為關心的熱點，參與調查者中關注此問題的約占
．現從參與關注生態文明建設的人群中隨機選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組
，第2組
，第3組
，第4組
，第5組
，得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求出
的值；
（2）求這200人年齡的樣本平均數（同一組數據用該區間的中點值作代表）和中位數（精確到小數點后一位）；
（3）現在要從年齡較小的第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取3人進行問卷調查，求這2組恰好抽到2人的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知
， 
是橢圓
的左右焦點， 
為橢圓
的上頂點，點
在橢圓
上，直線
與
軸的交點為
， 
為坐標原點，且
， 
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）過點
作兩條互相垂直的直線分別與橢圓
交于
， 
兩點（異于點
），證明：直線
過定點，并求該定點的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)的導函數f '(x)的圖象如圖所示,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),則不等式g(x)≥3x-3的解集是( )
A. [-1,1]∪[2,+∞)B. (-∞,-1]∪[1,2]
C. (-∞,-1]∪[2,+∞)D. [-1,2]
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2022年第24屆冬奧會將在北京舉行。為了推動我國冰雪運動的發展,京西某區興建了“騰越”冰雪運動基地。通過對來“騰越”參加冰雪運動的100員運動員隨機抽樣調查，他們的身份分布如下： 注:將表中頻率視為概率。
身份 | 小學生 | 初中生 | 高中生 | 大學生 | 職工 | 合計 |
人數 | 40 | 20 | 10 | 20 | 10 | 100 |
對10名高中生又進行了詳細分類如下表：
年級 | 高一 | 高二 | 高三 | 合計 |
人數 | 4 | 4 | 2 | 10 |
(1)求來“騰越”參加冰雪運動的人員中高中生的概率；
(2)根據統計，春節當天來“騰越”參加冰雪運動的人員中，小學生是340人，估計高中生是多少人？
（3）在上表10名高中生中，從高二，高三6名學生中隨機選出2人進行情況調查，至少有一名高三學生的概率是多少？
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