Question

【題目】已知拋物線的焦點為曲線的一個焦點， 為坐標原點，點為拋物線上任意一點，過點作軸的平行線交拋物線的準線于，直線交拋物線于點.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）若、、三個點滿足，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 或.

【解析】試題分析： 求出曲線的焦點，即可算出拋物線方程設直線的方程為，聯立直線與拋物線方程，得，再結合，算出結果

解析：（Ⅰ）解由曲線，可得，所以曲線是焦點在軸上的雙曲線，其中，故， 的焦點坐標分別為，因為拋物線的焦點坐標為，由題意知，得，所拋物線的方程為

（Ⅱ）設直線的方程為，聯立直線與拋物線的方程得，消去得

，設，由根與系數的關系得，

因為，故，得，由及，

解得或，代入，解得或

故的方程為或，化簡得或

另解：如圖，由，可設，則

，因為，所以

解得， ，所以，在中，

，即（為直線的斜率），所以

直線的方程為，即，由于對稱性知另一條直線的方程為.