Question

【題目】已知數列滿足，，其中常數．

（Ⅰ）若，求的取值范圍；

（Ⅱ）若，求證：對于任意的，均有；

（Ⅲ）當常數時，設，若存在實數使得恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）利用，得到，然后結合條件建立不等式，通過分類討論，求解不等式；

（Ⅱ）利用數學歸納法，證明結論成立；

（Ⅲ）利用數學歸納法，證明不等式成立，進而求出的取值范圍．

解：（Ⅰ）由已知得時，

∴

∵，∴

若，則，則或．

若，則，則或．

（Ⅱ）證明：用數學歸納法證明

當時，成立

假設時，

則當時

∵，∴

∴

即時命題也成立

∴對任意的均有．

（Ⅲ）當時，用數學歸納法證明

當時，成立

假設時，，則當時

∴．

即時，命題也成立

∴對有

∴

易知不存在使恒成立．

當時，由（Ⅱ）知

若存在，則對，，對任意，恒成立

而對，則必不存在，否則將推出，矛盾．

∵，∴

∴，

∴

∵，∴

又，∴，∴

故存在使得恒成立

綜上所述，