Question

【題目】設數列{an}滿足a1=，.（1）證明：數列為等比數列，并求數列{an}的通項公式；（2）設cn=(3n+1)an，證明：數列{cn}中任意三項不可能構成等差數列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）根據題意，由，構造，兩式相除即可得，由等比數列的定義分析可得答案；（2）用反證法分析：假設存在正整數，，且，使得，，成等差數列，由等差數列的定義可得，即，變形可得，分析可得矛盾，即可得證明．

（1）證明：由條件， ，①

，②

由a1=知an>0, ∴an+1>0.

①/②得， 且,

∴是首項為，公比為的等比數列.

因此，， ∴ .

（2）證明：由（1）得，cn=(3n+1)an=3n-1，

（反證法）假設存在正整數l，m，n且1≤l<m<n，使得cl，cm，cn成等差數列.

span>則2(3m-1)=3l+3n-2，即2·3m=3l+3n，

則有2·3m-l=1+3n-l，即2·3m-l-3n-l=1，

則有3m-l·[2-3n-l-(m-l)]=1，即3m-l·(2-3n-m)=1.

∵，，且，∴．

∴，∴，∴與矛盾，

故假設不成立，所以數列{cn}中任意三項不可能構成等差數列