如圖，在平面直角坐標系
中，已知
，
，
是橢圓
上不同的三點，
，
，在第三象限，線段
的中點在直線
上．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求點C的坐標；
（3）設動點
在橢圓上（異于點，，）且直線PB，PC分別交直線OA于
，
兩點，證明
為定值并求出該定值．
（1）求橢圓方程一般用待定系數法.本題已知橢圓過兩點，列兩個方程
，解出
的值,（2）求點
的坐標，需列出兩個方程.一是點C在橢圓上，即
，二是的中點在直線上，即
.注意到在第三象限，舍去正值.（3）題意明確，思路簡潔，就是求出點
的坐標，算出
為定值.難點是如何消去參數.因為點在直線： 
上，所以可設
，
．選擇
作為參數，即用表示點的坐標.由
三點共線，解得
，同理解得
.從而有
，這里主要用到
代入化簡.本題也可利用橢圓參數方程或三角表示揭示
為定值.
解析試題分析：（1）
,（2）
,（3）
.
試題解析：（1）由已知，得 解得
2分
所以橢圓的標準方程為． 3分
（2）設點
，則中點為
．
由已知，求得直線的方程為，從而．①
又∵點在橢圓上，∴．②
由①②，解得
（舍），
，從而
． 5分
所以點的坐標為． 6分
（3）設，，．
∵三點共線，∴
，整理，得． 8分
∵
三點共線，∴
，整理，得． 10分
∵點在橢圓上，∴，
．
從而
． 14分
所以
． 15分
∴為定值，定值為． 16分
考點：橢圓標準方程，直線與橢圓位置關系
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
(理)已知點
是平面直角坐標系上的一個動點，點
到直線
的距離等于點到點
的距離的2倍．記動點的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的方程；
(2)斜率為
的直線
與曲線交于
兩個不同點，若直線不過點
，設直線
的斜率分別為
，求
的數值；
(3)試問：是否存在一個定圓
，與以動點為圓心，以
為半徑的圓相內切？若存在，求出這個定圓的方程；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
上的任意一點
到該拋物線焦點的距離比該點到
軸的距離多1．
（1）求
的值；
（2）如圖所示，過定點
（2，0）且互相垂直的兩條直線
、
分別與該拋物線分別交于
、
、
、
四點．
（i）求四邊形
面積的最小值；
（ii）設線段
、
的中點分別為
、
兩點，試問：直線
是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的焦點在
軸上，離心率為
，對稱軸為坐標軸，且經過點
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）直線
與橢圓
相交于
、
兩點， 
為原點，在
、上分別存在異于
點的點
、
，使得
在以
為直徑的圓外，求直線斜率
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的中心在原點O，右焦點F在x軸上，橢圓與y軸交于A、B兩點，其右準線l與x軸交于T點，直線BF交橢圓于C點，P為橢圓上弧AC上的一點．
(1)求證：A、C、T三點共線；
(2)如果
＝3
，四邊形APCB的面積最大值為
，求此時橢圓的方程和P點坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設A1、A2與B分別是橢圓E：
＝1(a＞b＞0)的左、右頂點與上頂點，直線A2B與圓C：x2＋y2＝1相切．
(1)求證：
＝1；
(2)P是橢圓E上異于A1、A2的一點，若直線PA1、PA2的斜率之積為－
，求橢圓E的方程；
(3)直線l與橢圓E交于M、N兩點，且
·
＝0，試判斷直線l與圓C的位置關系，并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
給定橢圓C：
＝1(a>b>0)，稱圓心在原點O、半徑是
的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為F(
，0)，其短軸的一個端點到點F的距離為
.
(1)求橢圓C和其“準圓”的方程；
(2)若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點，B、D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求
·
的取值范圍；
(3)在橢圓C的“準圓”上任取一點P，過點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點，試判斷l1，l2是否垂直？并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知F1，F2分別是橢圓E：
＝1(a>b>0)的左、右焦點，A，B分別是橢圓E的左、右頂點，且
＋5
＝0.
(1)求橢圓E的離心率； (2)已知點D(1，0)為線段OF2的中點，M為橢圓E上的動點(異于點A、B)，連結MF1并延長交橢圓E于點N，連結MD、ND并分別延長交橢圓E于點P、Q，連結PQ，設直線MN、PQ的斜率存在且分別為k1、k2，試問是否存在常數λ，使得k1＋λk2＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．
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，橢圓
以
的長軸為短軸，且與
為坐標原點，點
、
分別在橢圓
，求直線
的方程.