Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線l經過點A（﹣1，0），其傾斜角是α，以原點O為極點，以x軸的非負半軸為極軸，與直角坐標系xOy取相同的長度單位，建立極坐標系．設曲線C的極坐標方程是ρ2=6ρcosθ﹣5．
（Ⅰ）若直線l和曲線C有公共點，求傾斜角α的取值范圍；
（Ⅱ）設B（x，y）為曲線C任意一點，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）曲線C的極坐標方程轉化成直角坐標方程是C：x2+y2﹣6x+5=0，
由題意知直線l的斜率存在，設直線l：y=k（x+1），其中k=tanα．
聯立
消去y得（1+k2）x2+2（k2﹣3）x+k2+5=0．
因為直線l和曲線C有交點，所以△=4（k2﹣3）2﹣4（1+k2）（k2+5）≥0，
即 ，
即 ，
所以 ．
（Ⅱ）曲線C：x2+y2﹣6x+5=0即（x﹣3）2+y2=4的參數方程是 （θ為參數），
所以點B（x，y）的坐標可以寫成（3+2cosθ，2sinθ），
所以 ，
因為sin（θ+ ）∈[﹣1，1]，
所以 x+y∈[3 ﹣4，3 +4]
【解析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲線C的極坐標方程，可得曲線的直角坐標方程，聯立直線l的方程，消去y，運用判別式大于等于0，可得斜率的范圍，再由斜率公式，可得傾斜角的范圍；（Ⅱ）求得曲線C的參數方程，運用兩角和的正弦公式和正弦函數的值域，即可得到所求范圍．