Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左頂點為A，右焦點為F，且|AF|=3．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點F做互相垂直的兩條直線l1，l2分別交直線l：x=4于M，N兩點，直線AM，AN分別交橢圓于P，Q兩點，求證：P，F，Q三點共線．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據離心率和|AF|＝3，可得a＝2，c＝1，從而求出橢圓的方程；

（Ⅱ）設l1：y=k1（x-1），聯立l1和橢圓的方程，得P坐標，因為直線l1，l2垂直，同理得Q坐標.且F（1，0），所以按和分類討論，判斷即可.

（Ⅰ）設橢圓的半焦距為c，依題意：，

得b2=a2-c2=3，所以橢圓的方程是．

（Ⅱ）由題意可知，直線l1，l2的斜率均存在且不為0，A（-2，0），F（1，0），設l1，l2的斜率分別為k1，k2，則k1k2=-1．

直線l1的方程為y=k1（x-1），則M點坐標為（4，3k1），得，設直線AM的方程為，

由得：

因為x=-2是方程的根，所以，．同理可得．

當，即時，可得，又F（1，0），所以P，F，Q三點共線；

當，即，時，，

，得kQF=kPF，所以P，F，Q三點共線；

綜上所述：P，F，Q三點共線.