Question

【題目】定義在D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的上界． 已知函數f（x）=1+a（ ）x+（ ）x；g（x）=
（Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）值域并說明函數f（x）在（﹣∞，0）上是否為有界函數？
（Ⅱ）若函數f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）已知m＞﹣1，函數g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=1+a（ ）x+（ ）x ， ∴當a=1時， ，
∵y= 和y= 在R上是單調遞減函數，
∴f（x）在R上是單調遞減函數，
∴f（x）在（﹣∞，0）上是單調遞減函數，
∴f（x）＞f（0）=3，
∴f（x）在（﹣∞，0）的值域為（3，+∞），
∴|f（x）|＞3，
故不存在常數M＞0，使|f（x）|≤M成立，
∴函數f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函數；
（Ⅱ）∵函數f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數，
∴由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，
∴﹣3≤f（x）≤3在[1，+∞）上恒成立，
∴ 在[0，+∞）上恒成立，
∴ 在[0，+∞）上恒成立，
∴ ，
令t=2x ， 由x∈[0，+∞），可得t≥1，
∴ ， ，
下面判斷函數h（t）和p（t）的單調性：
設1≤t1＜t2 ， 則t2﹣t1＞0，4t1t2﹣1＞0，t1t2＞0，2t1t2+1＞0，
∴ ，
，
∴h（t1）＞h（t2），p（t1）＜p（t2），
∴h（t）在[1，+∞）上遞減，p（t）在[1，+∞）上遞增
∴h（t）在[1，+∞）上的最大值為h（1）=﹣5，
p（t）在[1，+∞）上的最小值為p（1）=1，
∴﹣5≤a≤1，
∴實數a的取值范圍為[﹣5，1]；
（Ⅲ）g（x）= =﹣1+ ，
①當m＞0時，x∈[0，1]，
∵y=mx2+1在[0，1]上單調遞增，
∴g（x）在[0，1]上遞減，
∴g（1）≤g（x）≤g（0），即 ，
∵ ，
∴|g（x）|＜1，
∵函數g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函數的定義可得，
|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，
∴T（m）≥1；
②當m=0時，g（x）=1，|g（x）|=1，
∵函數g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函數的定義可得，
|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，
∴T（m）≥1；
③當﹣1＜m＜0時，x∈[0，1]，
∵y=mx2+1在[0，1]上單調遞減，
∴g（x）在[0，1]上遞增，
∴g（0）≤g（x）≤g（1），即 ，
∴ ，
∵函數g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函數的定義可得，
|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，
∴ ．
綜合①②③，當m≥0時，T（m）的取值范圍是[1，+∞），
當﹣1＜m＜0時，T（m）的取值范圍是
【解析】（Ⅰ）將a=1代入f（x）可得 ，利用指數函數的單調性判斷出f（x）在（﹣∞，0）上是單調遞減函數，即可求得f（x）＞f（0），從而得到f（x）的值域，根據有界函數函數的定義，即可判斷出f（x）不是有界函數；（Ⅱ）根據有界函數的定義，可得|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，利用參變量分離轉化為 在[0，+∞）上恒成立，令t=2x ， 則 ， ，問題轉化為求h（t）的最大值和p（t）最小值，利用函數單調性的定義，分別判斷出函數h（t）和p（t）的單調性，即可求得最值，從容求得a的取值范圍．（Ⅲ）將函數g（x）= 變形為g（x）=﹣1+ ，對參數m進行分類討論，當m＞0時，確定函數g（x）的單調性，根據單調性可得g（x）的取值范圍，從而確定|g（x）|的范圍，利用有界函數的定義，轉化為|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，利用所求得的g（x）的范圍，即可求得T（m）的取值范圍，同理研究當m=0和當﹣1＜m＜0時的情況，綜上所求范圍，即可求得T（m）的取值范圍．