Question

【題目】已知圓O經過橢圓C：=1（a＞b＞0）的兩個焦點以及兩個頂點，且點（b，）在橢圓C上．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若直線l與圓O相切，與橢圓C交于M、N兩點，且|MN|=，求直線l的傾斜角．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

(1)先由題意得出 ,可得出與的等量關系，然后將點的坐標代入橢圓的方程，可求出與的值，從而得出橢圓的方程；(2)對直線的斜率是否存在進行分類討論，當直線的斜率不存在時，可求出，然后進行檢驗；當直線的斜率存在時，可設直線的方程為,設點，先由直線與圓相切得出與之間的關系，再將直線的方程與橢圓的方程聯立，由韋達定理，利用弦長公式并結合條件得出的值，從而求出直線的傾斜角.

（1）由題可知圓只能經過橢圓的上下頂點，所以橢圓焦距等于短軸長，可得，

又點在橢圓上，所以，解得，

即橢圓的方程為.

（2）圓的方程為，當直線不存在斜率時，解得，不符合題意；

當直線存在斜率時，設其方程為，因為直線與圓相切，所以，即.

將直線與橢圓的方程聯立，得：

，

判別式，即，

設，則 ，

所以，

解得，

所以直線的傾斜角為或.