【題目】《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．首屆中國國際進口博覽會的某展館棚頂一角的鋼結構可以抽象為空間圖形陽馬．如圖所示，在陽馬
中，
底面
．
（1）若
，斜梁
與底面所成角為
，求立柱
的長（精確到
）；
（2）證明：四面體
為鱉臑；
（3）若
，
，
，
為線段上一個動點，求
面積的最小值．
【答案】（1）
；（2）詳見解析；（3）
.
【解析】
（1）推導出側棱
在平面
上的射影是
，從而
是側棱與平面所成角，
，從而求得立柱
的長.
（2）四邊形是長方形，從而
是直角三角形，由此得出
，從而三角形
是直角三角形，由
平面
，得
是直角三角形，由此能證明四面體
為鱉臑.
（3）利用轉化法求出異面直線
與的距離，即可求得三角形
面積的最小值.
（1）因為側棱
平面，所以側棱在底面上的射影是，所以是側棱與平面所成角，所以，在
中，
，所以
，即
，
，所以
.
（2）證明：由題意知四邊形是長方形，所以三角形
是直角三角形.
由于平面，所以
，所以三角形和三角形是直角三角形.因為
，所以平面，所以
，所以三角形
是直角三角形.所以四面體為鱉臑.
（3）與是兩異面直線，
，所以
平面
，則兩異面直線與的距離等于到平面的距離，也即
到平面的距離，等于到直線
的距離.因為
，所以
，則到的距離為
.
所以線段上的動點
到的最小距離為.則三角形面積的最小值為
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
過點
，其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數列
直線l與x軸正半軸和y軸分別交于點Q、P，與橢圓分別交于點M、N，各點均不重合且滿足
．
求橢圓的標準方程；
若
，試證明：直線l過定點并求此定點．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C1：
y2＝1的左右頂點是雙曲線C2：
的頂點，且橢圓C1的上頂點到雙曲線C2的漸近線的距離為
．
（1）求雙曲線C2的方程；
（2）若直線與C1相交于M1，M2兩點，與C2相交于Q1，Q2兩點，且
5，求|M1M2|的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖（一），在直角梯形
中，
，
，
，
是
的中點，將
沿
折起，使點
到達點
的位置得到圖（二），點
為棱
上的動點.
（1）當在何處時，平面
平面
，并證明；
（2）若
，
，證明：點
到平面
的距離等于點到平面
的距離，并求出該距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓O經過橢圓C：
=1（a＞b＞0）的兩個焦點以及兩個頂點，且點（b，
）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l與圓O相切，與橢圓C交于M、N兩點，且|MN|=
，求直線l的傾斜角．
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