Question

【題目】已知拋物線：上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4，動(dòng)直線交拋物線于坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)B，若動(dòng)點(diǎn)P滿足，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為．

（1）求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

（3）以下給出曲線C的四個(gè)方面的性質(zhì)，請(qǐng)你選擇其中的三個(gè)方面進(jìn)行研究：①對(duì)稱性；②范圍；③漸近線；④時(shí)，寫出由確定的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析．

【解析】

(1)根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離列式求解即可.

(2)求出的坐標(biāo),利用動(dòng)點(diǎn)P滿足,求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程即可.

(3)根據(jù)(2)中所得的方程直接得出結(jié)論即可.

(1)由題意,,所以

所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)設(shè),則與拋物線方程聯(lián)立,可得,即,與聯(lián)立,可得.因?yàn)?/span>,所以,所以,故,.

消去可得

(3)由,可得

①因?yàn)?/span>,,故關(guān)于軸對(duì)稱；

②范圍：,則.即

又當(dāng)時(shí), ,

故,即或.

故,

③因?yàn)榉帜笧?/span>,故漸近線

④當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>,所以由確定的函數(shù)為,即

,

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增

故在上遞減,在上遞增.

綜上所述,

①關(guān)于軸對(duì)稱

②,

③漸近線

④時(shí),由確定的函數(shù)在上遞減,在上遞增