Question

【題目】已知函數f（x）=x3+ax2+bx+a2.

（I）若f（x）在x=1處有極值10，求a，b的值；

（II）若當a=-1時，f（x）<0在x∈[1，2]恒成立，求b的取值范圍

Answer 1

【答案】（I）; （II）b<-

【解析】試題分析：（1）首先對f（x）求導，然后由題設在x=1時有極值10可得f '（1）=0，f（1）=10，解得即可；

（2）x3-x2+bx+1<0在x∈[1，2]恒成立，即b<在x∈[1，2]恒成立，令g（x）=，即可求出b的取值范圍．

試題解析：

（I）f '（x）=3x2+2ax+b，由題設有f '（1）=0，f（1）=10

即解得或

經驗證，若則f '（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2

當x>1或x<1時，均有f '（x）>0，可知

此時x=1不是f（x）的極值點，故舍去

符合題意，故.

（II）當a=-1時，f（x）=x3-x2+bx+l

若f（x）<0在x∈[1，2]恒成立，即

x3-x2+bx+1<0在x∈[1，2]恒成立

即b<在x∈[1，2]恒成立

令g（x）=，則

g '（x）==

（法一：由g '（x）=0解得x=1…）

（法二）由-2x3+x2+1=1-x3+x2（1-x） 可知x∈[1，2]時g '（x）<0

即g（x）=在x∈[1，2]單調遞減

（g（x））max=g（2）=-

∴b<-時，f（x）<0在x∈[1，2]恒成立.