Question

【題目】已知圓C的圓心為原點，且與直線 相切.

（1）求圓C的方程；

（2）點在直線上，過點引圓C的兩條切線， ，切點為， ，求證：直線恒過定點.

Answer 1

【答案】解：（1）依題意得：圓的半徑，所以圓的方程為。（4分）

（2）是圓的兩條切線， 。在以為直徑的圓上。

設點的坐標為，則線段的中點坐標為。

以為直徑的圓方程為（8分）

化簡得： 為兩圓的公共弦，

直線的方程為

所以直線恒過定點。（12分）

【解析】試題分析：（1）由圓C與直線相切，得到圓心到直線的距離d=r，故利用點到直線的距離公式求出d的值，即為圓C的半徑，又圓心為原點，寫出圓C的方程即可；

（2）由PA，PB為圓O的兩條切線，根據切線的性質得到OA與AP垂直，OB與PB垂直，根據90°圓周角所對的弦為直徑可得A，B在以OP為直徑的圓上，設出P的坐標為（8，b），由P和O的坐標，利用線段中點坐標公式求出OP中點坐標，即為以OP為直徑的圓的圓心坐標，利用兩點間的距離公式求出OP的長，即為半徑，寫出以OP為直徑的圓方程，整理后，由AB為兩圓的公共弦，兩圓方程相減消去平方項，得到弦AB所在直線的方程，可得出此直線方程過（2，0），得證．

解：（1）依題意得：圓心（0，0）到直線的距離d=r，

∴d=，

所以圓C的方程為x2+y2=16①；

（2）連接OA，OB，

∵PA，PB是圓C的兩條切線，

∴OA⊥AP，OB⊥BP，

∴A，B在以OP為直徑的圓上，

設點P的坐標為（8，b），b∈R，

則線段OP的中點坐標為，

∴以OP為直徑的圓方程為，

化簡得：x2+y2﹣8x﹣by=0②，b∈R，

∵AB為兩圓的公共弦，

∴①﹣②得：直線AB的方程為8x+by=16，b∈R，即8（x﹣2）+by=0，

則直線AB恒過定點（2，0）．