Question

已知函數圖像上點處的切線與直線平行（其中），     
(I）求函數的解析式；
(II）求函數上的最小值；
(III）對一切恒成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

（I） （II） .
（III）實數的取值范圍為.

試題分析：（I）由點處的切線方程與直線平行，得該切線斜率為2，即
又所以 4分
（II）由（I）知，顯然當所以函數上單調遞減.當時，所以函數上單調遞增，
①
②時，函數上單調遞增，
因此        7分
所以  10分
（III）對一切恒成立，又
即設
則由
單調遞增，
單調遞減，
單調遞增，

所以
因為對一切恒成立，

故實數的取值范圍為  14分 
點評：難題，本題（1）較為簡單，主要利用“曲線切線的斜率，等于在切點的導函數值”。本題（2）主要利用“在給定區間，導函數值非負，函數為增函數；導函數值非正，函數為減函數”，研究函數的單調區間。（3）作為不等式恒成立問題，通過構造函數，研究函數的單調性、極值（最值），使問題得到解決。