Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x ^_ 1）e^{x _} kx²（k∈R）.
(Ⅰ)當(dāng)k=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)當(dāng)k∈（1/2,1]時，求函數(shù)f（x）在[0,k]上的最大值M.

Answer 1

(Ⅰ)函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.
(Ⅱ)函數(shù)在上的最大值.

試題分析：(Ⅰ) 當(dāng)時,
,
令,得,
當(dāng)變化時, 的變化如下表:

		極大值		極小值

 由表可知,函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.     6分
(Ⅱ) ,
令,得,,
令,則,所以在上遞增,
所以,從而,所以
所以當(dāng)時, ；當(dāng)時, ；
所以
令,則,
令,則
所以在上遞減,而
所以存在使得,且當(dāng)時, ,
當(dāng)時, ,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240151192401221.png" style="vertical-align:middle;" />,,
所以在上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時取得“=”.
綜上,函數(shù)在上的最大值.     14分
點(diǎn)評：難題，本題較為典型，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基本問題。曲線切線的斜率等于在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值。研究函數(shù)的最值遵循“求導(dǎo)數(shù)，求駐點(diǎn)，研究單調(diào)性，確定極值，計算區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值，比較大小”。本題中函數(shù)f（x）在[0,k]上的最大值M.是關(guān)于k的函數(shù)，處理問題過程中對k存在的討論易出錯。