Question

【題目】在正方體AC1中，E，F分別為D1C1，B1C1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如圖.

（1）若A1C交平面EFBD于點R，證明:P，Q，R三點共線.

（2）線段AC上是否存在點M，使得平面B1D1M∥平面EFBD，若存在確定M的位置，若不存在說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）存在；M為AP中點

【解析】

根據題意,證明P，Q，R是平面BDEF和平面BDD1B1的公共點,利用平面的公理3即可得證;

存在點M為AP中點, 使平面B1D1M∥平面EFBD.取AD中點G，AB中點H，連結GH，交AC于點M，連結D1G，B1H,利用線面平行的判定定理證明平面，平面,由面面平行的判定定理即可得證.

（1）證明：∵在正方體AC1中，E，F分別為D1C1，B1C1的中點，

AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，A1C交平面EFBD于點R，

∴P，Q，R是平面BDEF和平面BDD1B1的公共點，

∴P，Q，R三點共線.

（2）存在點M為AP中點, 使平面B1D1M∥平面EFBD.

證明如下:取AD中點G，AB中點H，連結GH，交AC于點M，連結D1G，B1H，如圖:

由題意得,GH∥EF,因為平面,平面，

所以平面,

因為B1H∥DE,同理可證,平面,

又因為, 由面面平行的判定定理可得,

∴平面GHB1D1∥平面BDEF，

∴線段AC上存在點M，使得平面B1D1M∥平面EFBD，且M為AP中點.