Question

【題目】已知函數是奇函數，，當時，，則不等式的解集為_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意構造函數g（x）＝xf（x）求出g′（x），根據條件判斷出g（x）的單調性和奇偶性，由f（2）＝0得g（2）＝0，結合g（x）單調性判斷出各個區間上的符號，從而可得到f（x）在各個區間上的符號，即可求出不等式f（x）＜0的解集．

設g（x）＝xf（x），則g′（x）＝xf′（x）+f（x），

∵當x<0時，有xf′（x）+f（x）>0，則g′（x）>0，

∴g（x）在（﹣∞，0）上單調遞增，

∵函數f（x）是R上奇函數，∴函數g（x）是R上的偶函數，

則g（x）在（0，+∞）上單調遞減，

又f（2）＝0，則g（2）＝0，

∴在（0，2）內恒有g（x）＞0；在（2，+∞）內恒有g（x）＜0，

在（﹣∞，﹣2）內恒有g（x）＜0；在（﹣2，0）內恒有g（x）＞0，

∴在（0，2）內恒有f（x）＞0；在（2，+∞）內恒有f（x）＜0，

在（﹣∞，﹣2）內恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）內恒有f（x）＜0，

∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣2，0）∪（2，+∞），

故答案為．