Question

如圖，在平面直角坐標系內，已知A（1，0），B（-1，0）兩點，且圓C的方程為x²+y²-6x-8y+21=0，點P為圓上的動點．
（1）求△ABP面積的最小值；
（2）求|AP|²+|BP|²的最大值．

Answer 1

分析：（1）由A與B兩點坐標確定出|AB|的長，得出圓上找出最低點，可得出三角形ABP面積最小，由圓的方程變形得出圓心C坐標及半徑，根據C橫坐標確定出P₁橫坐標，由C縱坐標減去半徑確定出P₁縱坐標，三角形ABP的最小面積由|AB|與P₁縱坐標乘積的一半求出；
（2）設P（x，y），利用兩點間的距離公式表示出|AP|，|BP|，代入所求式子中化簡，整理后得出所求式子最大即為|OP|最大，而P為圓上的點，連接OC延長與圓的交點即為此時的P點，（|OP|）_max=|OC|+r，求出|OP|的最大值，即可確定出所求式子的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵|AB|=

(1+1)2+02

=2，
∴在圓上只要找到最低點P₁可得出△ABP面積的最小值，
又∵圓心坐標為（3，4），半徑為2，
∴P₁橫坐標為3，縱坐標為4-2=2，即P₁（3，2），
則所求的最小面積為S=

1

2

×2×2=2；
（2）設P（x，y），由兩點間的距離公式知|AP|²+|BP|²=（x+1）²+y²+（x-1）²+y²=2（x²+y²）+2=2|OP|²+2，
要使|AP|²+|BP|²最大只要使|OP|²最大即可，
又P為圓上的點，
∴（|OP|）_max=|OC|+r=5+2=7，
∴（|AP|²+|BP|²）_max=100．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：兩點間的距離公式，圓的標準方程，坐標與圖形性質，熟練掌握公式是解本題的關鍵．