Question

【題目】如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線C1：的焦點(diǎn)，且拋物線C1上點(diǎn)P處的切線與圓C2：相切于點(diǎn)Q．

（Ⅰ）當(dāng)直線PQ的方程為時(shí)，求 拋物線C1的方程；

（Ⅱ）當(dāng)正數(shù)P變化時(shí)，記S1 ，S2分別為△FPQ，△FOQ的面積，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）x2=4y．（2）.

【解析】

試題解析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P（x0，），由x2=2py（p＞0）得，y=，求導(dǎo)y′=，

因?yàn)橹本�PQ的斜率為1，所以=1且x0 --√2=0，解得p=2，

所以拋物線C1 的方程為x2=4y．

（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)P處的切線方程為：y-=（x-x0），即2x0x-2py-x02=0，

∴ OQ的方程為y=-x

根據(jù)切線與圓切，得d=r，即，化簡(jiǎn)得x04=4x02+4p2，

由方程組，解得Q（，），

所以|PQ|=√1+k2|xP-xQ|=

點(diǎn)F（0，）到切線PQ的距離是d=，

所以S1==，

S2=，

而由x04=4x02+4p2知，4p2=x04-4x02＞0，得|x0|＞2，

所以

=

=+3≥2+3，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)，

即x02=4+2，此時(shí)，p=．

所以的最小值為2+3．