Question

【題目】如圖，已知拋物線：，過焦點斜率大于零的直線交拋物線于、兩點，且與其準線交于點．

（1）若線段的長為，求直線的方程；

（2）在上是否存在點，使得對任意直線，直線，，的斜率始終成等差數列，若存在求點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點或，使得對任意直線，直線，，的斜率始終成等差數列．

【解析】

試題分析：（1）設出直線方程與拋物線聯立，利用弦長公式進行求解；（2）假設存在點，利用等差中項和恒成立判定是否有解.

試題解析：（1）焦點∵直線的斜率不為，所以設，， 由得，，，，，

∴， ∴． ∴直線的斜率，∵，∴， ∴直線的方程為．

（2）設，，同理，，

∵直線，，的斜率始終成等差數列，∴恒成立，即恒成立．∴，把，代入上式，得恒成立，．∴存在點或，使得對任意直線，直線，，的斜率始終成等差數列．