Question

【題目】如圖，正三角形的邊長為，、、分別為各邊的中點，將△沿、、折疊，使、、三點重合，構成三棱錐．

(1)求平面與底面所成二面角的余弦值；

(2)設點、分別在、上， (為變量) ；

①當為何值時，為異面直線與的公垂線段? 請證明你的結論

②設異面直線與所成的角為，異面直線與所成的角為，試求的值．

Answer 1

【答案】（1） （2）①λ=1，證明見解析 ②

【解析】

（1）取DE的中點G，連接AG、FG ，利用正三角形的性質，可以得到∠AGF為平面ADE與底面DEF所成二面角的平面角，最后利用余弦定理求出即可；

（2）①當λ=1，M為AD的中點，N為FF的中點，連結AN、DN，利用等腰三角形的性質可以證明MN⊥AD， MN⊥EF；

②過點M作MH∥DF，交AF于點H，則∠HMN為異面直線 MN與DF所成的角，

通過平行線可以得到比例式子，可以證明∠MNH為異面直線 MN與AE所成的角，求出的表達式，最后利用正棱錐的性質、平行線的性質可以求出的值.

解：（1）如圖，取DE的中點G，連接AG、FG

由題意AD=AE，△DEF為正三角形，得AG⊥DE，

∴∠AGF為平面ADE與底面DEF所成二面角的平面角

由題意得AG=FG=．在△AGF中，

∴平面ADE與底面DEF所成二面角的余弦值為

（2）①λ=1時，MN為異面直線AD與EF公垂線段

當λ=1，M為AD的中點，N為FF的中點，連結AN、DN，

則由題意，知AN=DN=，∴MN⊥AD，同理可證MN⊥EF

∴λ=1時，MN為異面直線AD與EF公垂線段．

②過點M作MH∥DF，交AF于點H，則∠HMN為異面直線 MN與DF所成的角 ．

由MH∥DF，得 又，∴

∴HN//AE，∠MNH為異面直線 MN與AE所成的角 ．

∴α+β=∠MNH+∠HMN=π—∠MHN

由題意得，三棱錐A—DEF是正棱錐，則點A在底面DEF上的射影為底面△DEF的中心，記為O．

∵ AE在底面DEF上的射影EO⊥DF， ∴AE⊥DF

又∵HN//AE，MH//DF，∴∠MNH= ，∴