Question

【題目】已知數列中，，是數列的前項和，且．

（1）求，，并求數列的通項公式；

（2）設，數列的前項和為，若對任意的正整數都成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），， （2）

【解析】

（1）令，得到，當時，，所以得到，整理得到，從而得到的通項公式，從而得到的通項；（2）根據（1）得到的通項，然后得到其前項的和，計算，得到在上單調遞增，從而得到，得到的取值范圍.

解：（1）在中，

，則，即，得，

由得：

當時，，

化簡得，

即，

所以數列是以2為首項，2為公比的等差數列，

所以.

又因為，所以，

所以，.

當時，，

對也成立，

所以數列的通項公式為.

（2）因為，

所以

.

因為，

所以在上單調遞增，

所以的最小值為.

因為對任意的正整數都成立，

所以，

即.

所以實數的取值范圍是.