Question

【題目】平面直角坐標系xOy中，過橢圓M： （a＞b＞0）右焦點的直線x+y﹣ =0交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為 ．
（1）求M的方程
（2）C，D為M上的兩點，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把右焦點（c，0）代入直線x+y﹣ =0得c+0﹣ =0，解得c= ．

設A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點P（x0，y0），

則 ， ，相減得 ，

∴ ，

∴ ，又 = ，

∴ ，即a2=2b2．

聯立得 ，解得 ，

∴M的方程為 ．

（2）解：∵CD⊥AB，∴可設直線CD的方程為y=x+t，

聯立 ，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，

∵直線CD與橢圓有兩個不同的交點，

∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）．

設C（x3，y3），D（x4，y4），∴ ， ．

∴|CD|= = = ．

聯立 得到3x2﹣4 x=0，解得x=0或 ，

∴交點為A（0， ），B ，

∴|AB|= = ．

∴S四邊形ACBD= = = ，

∴當且僅當t=0時，四邊形ACBD面積的最大值為 ，滿足（*）．

∴四邊形ACBD面積的最大值為 ．

【解析】（1）把右焦點（c，0）代入直線可解得c．設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），線段AB的中點P（x0 ， y0），利用“點差法”即可得到a，b的關系式，再與a2=b2+c2聯立即可得到a，b，c．（2）由CD⊥AB，可設直線CD的方程為y=x+t，與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系，即可得到弦長|CD|．把直線x+y﹣ =0與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系，即可得到弦長|AB|，利用S四邊形ACBD= 即可得到關于t的表達式，利用二次函數的單調性即可得到其最大值．