Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx－ax，g(x)＝e^x－ax，其中a為實(shí)數(shù)．
(1)若f(x)在(1，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范圍；
(2)若g(x)在(－1，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，試求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

(1) a∈(e，＋∞)．
(2) 當(dāng)a≤0或a＝e^－1時(shí)，f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，當(dāng)0<a<e^－1時(shí)，f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. 證明見解析

解：(1)令f′(x)＝－a＝<0，考慮到f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，故a>0，進(jìn)而解得x>a^－1，即f(x)在(a^－1，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)．同理，f(x)在(0，a^－1)上是單調(diào)增函數(shù)．由于f(x)在(1，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，故(1，＋∞)⊆(a^－1，＋∞)，從而a^－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝e^x－a＝0，得x＝ln a．當(dāng)x<ln a時(shí)，g′(x)<0；當(dāng)x>ln  a時(shí)，g′(x)>0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a>1，即a>e.
綜上，有a∈(e，＋∞)．
(2)當(dāng)a≤0時(shí)，g(x)必為單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)a>0時(shí)，令g′(x)＝e^x－a>0，
解得a<e^x，即x>ln a，因?yàn)間(x)在(－1，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，類似(1)有l(wèi)n a≤－1，即0<a≤e^－1.結(jié)合上述兩種情況，有a≤e^－1.
(ⅰ)當(dāng)a＝0時(shí)，由f(1)＝0以及f′(x)＝>0，得f(x)存在唯一的零點(diǎn)；
(ⅱ)當(dāng)a<0時(shí)，由于f(e^a)＝a－ae^a＝a(1－e^a)<0，f(1)＝－a>0，且函數(shù)f(x)在[e^a,1]上的圖象不間斷，所以f(x)在(e^a,1)上存在零點(diǎn)．另外，當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)＝－a>0，故f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)．
(ⅲ)當(dāng)0<a≤e^－1時(shí)，令f′(x)＝－a＝0，解得x＝a^－1.當(dāng)0<x<a^－1時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x>a^－1時(shí)，f′(x)<0，所以，x＝a^－1是f(x)的最大值點(diǎn)，且最大值為f(a^－1)＝－ln a－1.
①當(dāng)－ln a－1＝0，即a＝e^－1時(shí)，f(x)有一個(gè)零點(diǎn)x＝e.
②當(dāng)－ln a－1>0，即0<a<e^－1時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．
實(shí)際上，對于0<a<e^－1，由于f(e^－1)＝－1－ae^－1<0，f(a^－1)>0，且函數(shù)f(x)在[e^－1，a^－1]上的圖象不間斷，所以f(x)在(e^－1，a^－1)上存在零點(diǎn)．
另外，當(dāng)x∈(0，a^－1)時(shí)，f′(x)＝－a>0，故f(x)在(0，a^－1)上是單調(diào)增函數(shù)，所以f(x)在(0，a^－1)上只有一個(gè)零點(diǎn)．
下面考慮f(x)在(a^－1，＋∞)上的情況．先證f(e^a－1)＝a(a^－2－e^a－1)<0.
為此，我們要證明：當(dāng)x>e時(shí)，e^x>x².設(shè)h(x)＝e^x－x²，則h′(x)＝e^x－2x，再設(shè)l(x)＝h′(x)＝e^x－2x，則l′(x)＝e^x－2.
當(dāng)x>1時(shí)，l′(x)＝e^x－2>e－2>0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．故當(dāng)x>2時(shí)，h′(x)＝e^x－2x>h′(2)＝e²－4>0，從而h(x)在(2，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．進(jìn)而當(dāng)x>e時(shí)，
h(x)＝e^x－x²>h(e)＝e^e－e2>0.即當(dāng)x>e時(shí)，e^x>x².
當(dāng)0<a<e^－1，即a^－1>e時(shí)，f(e^a－1)＝a^－1－ae^a－1＝a(a^－2－e^a－1)<0，又f(a^－1)>0，且函數(shù)f(x)在[a^－1，e^a－1]上的圖象不間斷，所以f(x)在(a^－1，e^a－1)上存在零點(diǎn)．又當(dāng)x>a^－1時(shí)，f′(x)＝－a<0，故f(x)在(a^－1，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，所以f(x)在(a^－1，＋∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)．
綜合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，當(dāng)a≤0或a＝e^－1時(shí)，f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，當(dāng)0<a<e^－1時(shí)，f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.