Question

【題目】如圖，圓，是圓M內一個定點，P是圓上任意一點，線段PN的垂直平分線l和半徑MP相交于點Q，當點P在圓M上運動時，點Q的軌跡為曲線E.

（1）求曲線E的方程；

（2）已知拋物線上，是否存在直線m與曲線E交于G，H，使得G，H中點F落在直線y＝2x上，并且與拋物線相切，若直線m存在，求出直線m的方程，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，x+8y﹣8＝0或x＝0

【解析】

（1）根據垂直平分線性質得|QN|＝|QP|，再根據橢圓定義求橢圓方程；

（2）先根據點差法求得直線斜率，再聯立直線方程與拋物線方程，利用判別式為零得直線方程，最后考慮直線斜率不存在是是否滿足題意.

解：（1）由題意可知，Q在PN的垂直平分線上，

所以|QN|＝|QP|，又因為|QM|+|QP|＝r＝4，

所以|QM|+|QP|＝4＞|MN|，

所以Q點的軌跡為橢圓，且2a＝4即a＝2，

由題意可知c＝，所以b＝1，

∴曲線E的方程為.

（2）由已知拋物線方程是y2＝﹣x，

若直線斜率存在，設直線與曲線E的交點坐標為G（x1，y1），H（x2，y2），滿足曲線E的方程，

兩式作差可得+（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，

因為G，H的中點F落在直線y＝2x上

則有y1+y2＝2（x1+x2）代入可得＝﹣，

直線方程可以設為y＝﹣x+b與拋物線方程聯立，

消元可得方程y2﹣4y+4b＝0，

直線與拋物線相切則有△＝16﹣16b＝0，所以b＝1，

則直線的方程為x+8y﹣8＝0，與橢圓方程聯立：，

消元可得方程17y2﹣32y+15＝0，△＝322﹣4×17×15＞0，

所以直線x+8y﹣8＝0滿足題意.

若直線斜率不存在時，直線x＝0滿足題意.

所以，綜上這樣的直線存在，方程是x+8y﹣8＝0或x＝0.