Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（ax2+bx+c）ex在[0，1]上單調(diào)遞減且滿足f（0）=1，f（1）=0．
（1）求a取值范圍；
（2）設(shè)g（x）=f（x）﹣f′（x），求g（x）在[0，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（0）=1，f（1）=0得c=1，a+b=﹣1，則f（x）=[ax2﹣（a+1）x+1]ex，

∴f′（x）=[ax2+（a﹣1）x﹣a]ex，

由題意函數(shù)f（x）=（ax2+bx+c）ex在[0，1]上單調(diào)遞減可得對(duì)于任意的x∈（0，1），都有f′（x）≤0

當(dāng)a＞0時(shí)，因?yàn)槎�次函�?shù)y=ax2+（a﹣1）x﹣a圖象開口向上，而f′（0）=﹣a＜0，所以只需要f′（1）=（a﹣1）e≤0，即a≤1，故有0＜a≤1；

當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=（x2﹣1）ex＜0，函數(shù)符合條件；

當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=﹣xex＜0，函數(shù)符合條件；

當(dāng)a＜0時(shí)，因f′（0）=﹣a＞0函數(shù)不符合條件；

綜上知，a的取值范圍是0≤a≤1

（2）解：因?yàn)?g（x）=f（x）﹣f′（x）=（ax2﹣（a+1）x+1）ex﹣[ax2+（a﹣1）x﹣a]ex=（﹣2ax+a+1）ex，g′（x）=（﹣2ax﹣a+1）ex，

（i）當(dāng)a=0時(shí)，g′（x）=ex＞0，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1，最大值是g（1）=e

（ii）當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)于任意x∈（0，1）有g(shù)′（x）=﹣2xex＜0，則有g(shù)（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=0，最大值是g（0）=2；

（iii）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由g′（x）=0得x= ＞0，

①若 ，即0＜a≤ 時(shí)，g（x）在[0，1]上是增函數(shù)，所以g（x）在[0，1]上最大值是g（1）=（1﹣a）e，最小值是g（0）=1+a；

②若 ，即 ＜a＜1時(shí)，g（x）在x= 取得最大值g（ ）=2a ，在x=0或x=1時(shí)取到最小值，

而g（0）=1+a，g（1）=（1﹣a）e，

則令g（0）=1+a≤g（1）=（1﹣a）e可得 ＜a≤ ；令g（0）=1+a≥g（1）=（1﹣a）e可得 ≤a＜1

綜上，當(dāng) ＜a≤ 時(shí)，g（x）在x=0取到最小值g（0）=1+a，

當(dāng) ≤a＜1時(shí)，g（x）在x=1取到最小值g（1）=（1﹣a）e

【解析】（1）由題意，函數(shù)f（x）=（ax2+bx+c）ex在[0，1]上單調(diào)遞減且滿足f（0）=1，f（1）=0，可求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在[0，1]上的函數(shù)值恒小于等于0，再結(jié)合f（0）=1，f（1）=0這兩個(gè)方程即可求得a取值范圍；（2）由題設(shè)條件，先給出g（x）=f（x）﹣f′（x）的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，g′（x）=（﹣2ax﹣a+1）ex ， 由于參數(shù)a的影響，函數(shù)在[0，1]上的單調(diào)性不同，結(jié)合（1）的結(jié)論及g′（x）可得．（i）當(dāng)a=0時(shí)；（ii）當(dāng)a=1時(shí)；（iii）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，分三類對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論，確定并求出函數(shù)的最值
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．