Question

【題目】已知圓O：x2+y2=r2（r＞0），點P為圓O上任意一點（不在坐標軸上），過點P作傾斜角互補的兩條直線分別交圓O于另一點A，B．
（1）當直線PA的斜率為2時，
①若點A的坐標為（﹣ ，﹣ ），求點P的坐標；
②若點P的橫坐標為2，且PA=2PB，求r的值；
（2）當點P在圓O上移動時，求證：直線OP與AB的斜率之積為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：①點A的坐標為（﹣ ，﹣ ），代入可得r2=2

直線PA的方程為y+ =2（x+ ），即y=2x﹣1，

代入x2+y2=2，可得5x2﹣4x﹣1=0，∴點P的坐標為（1，1）；

②因為直線PA與直線PB的傾斜角互補且直線PA的斜率為2，所以直線PB的斜率為﹣2．

設點P的坐標為（2，t），則直線PA的方程為：2x﹣y﹣4+t=0，直線PB的方程為：2x+y﹣t﹣4=0．

圓心（0，0）到直線PA，PB的距離分別為d1= ，d2=

因為PA=2PB，所以由垂徑定理得：4（r2﹣d12）=16（r2﹣d22）

所以4（ ）2﹣（ ）2=3r2，

又因為點P（2，t）在圓O上，所以22+t2=r2（2），聯立（1）（2）解得r= 或

（2）解：由題意知：直線PA，PB的斜率均存在．

設點P的坐標為（x0，y0），直線OP的斜率為kOP=

直線PA的斜率為k，則直線PA的方程為：y﹣y0=k（x﹣x0），

聯立直線PA與圓O方程x2+y2=r2，消去y得：

（1+k2）x2+2k（y0﹣kx0）x+（y0﹣kx0）2﹣r2=0，

因為點P在圓O上，即x02+y02=r2，

所以（y0﹣kx0）2﹣r2=（k2﹣1）x02﹣2kx0y0，

由韋達定理得：xA= ，故點A坐標為（ ， ），

用“﹣k“代替“k“得：點B的坐標為（ ， ）

∴kAB= =

∴kABkOP=1．

綜上，當點P在圓O上移動時，直線OP與AB的斜率之積為定值1

【解析】（1）①求出r2=2，直線PA的方程，代入x2+y2=2，可得5x2﹣4x﹣1=0，即可求點P的坐標；②若點P的橫坐標為2，且PA=2PB，設點P的坐標為（2，t），由垂徑定理得：4（r2﹣d12）=16（r2﹣d22），因為點P（2，t）在圓O上，所以22+t2=r2 ， 即可求r的值；（2）當點P在圓O上移動時，求出A，B的坐標，即可證明直線OP與AB的斜率之積為定值．