Question

如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=AB．直角梯形ACEF中，，是銳角，且平面ACEF⊥平面ABCD．

（1）求證：；
（2）若直線DE與平面ACEF所成的角的正切值是，試求的余弦值．

Answer 1

（1）詳見試題解析；（2）．

試題分析：（1）證明線線垂直，可轉化為證明線面垂直．要證，只要證平面，由已知平面ACEF⊥平面ABCD，故由面面垂直的性質定理知，只要證．在等腰梯形ABCD中，由已知條件及平面幾何相關知識易得；（2）連結交于，再連結EM，FM，易知四邊形為菱形，∴DM⊥AC，注意到平面平面，故DM⊥平面．于是，即為直線DE與平面ACEF所成的角．在中由銳角三角函數可求得的長，再在中由銳角三角函數即可求得的余弦值．
試題解析：（1）證明：在等腰梯形ABCD中，∵AD=DC=CB=AB，∴AD、BC為腰，取AB得中點H，連CH，易知，四邊形ADCH為菱形，則CH=AH=BH,故△ACB為直角三角形，．              3分
平面平面，且平面平面，平面，而平面，故．                               6分
（2）連結交于，再連結EM，FM，易知四邊形為菱形，∴DM⊥AC，注意到平面平面，故DM⊥平面．于是，即為直線DE與平面ACEF所成的角．                                          9分

設AD=DC=BC=,則MD=，．依題意，，，在中，，∵=AM，四邊形AMEF為平行四邊形，，，．                 12分