Question

如圖,A,B,C,D為空間四點.在△ABC中,AB=2,AC=BC=.等邊三角形ADB以AB為軸轉動.

(1)當平面ADB⊥平面ABC時,求CD.
(2)當△ADB轉動時,是否總有AB⊥CD?證明你的結論.

Answer 1

(1)2   (2)見解析

(1)取AB的中點E,
連接DE,CE,

因為△ADB是等邊三角形,
所以DE⊥AB.
當平面ADB⊥平面ABC時,
因為平面ADB∩平面ABC=AB,
所以DE⊥平面ABC,可知DE⊥CE.
由已知可得DE=,EC=1,
在Rt△DEC中,CD==2.
(2)當△ADB以AB為軸轉動時,總有AB⊥CD.
證明:
①當D在平面ABC內時,
因為AC=BC,AD=BD,
所以C,D都在線段AB的垂直平分線上,即AB⊥CD.
②當D不在平面ABC內時,
由(1)知AB⊥DE.
又因AC=BC,所以AB⊥CE.
又DE,CE為相交直線,所以AB⊥平面CDE.
由CD?平面CDE,得AB⊥CD.
綜上所述,總有AB⊥CD.