Question

【題目】已知圓：（）與直線：相切，設點為圓上一動點，軸于，且動點滿足，設動點的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）直線與直線垂直且與曲線交于，兩點，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）利用圓與直線相切，且圓的圓心在坐標原點，可以求出圓的方程，假設出點和 點的坐標，利用，可以求出點和點坐標關系，用點坐標表示出點坐標，由于點在圓上，將點坐標代入圓的方程中，可以得出點的軌跡；

（2）由于直線 與直線垂直，可以得出直線的斜率，進而可以假設出直線的方程，聯立直線的方程及橢圓的方程，利用韋達定理可以表示出線段 的長，由點到直線的距離可以求出點 到 的距離，進而可以求出 的表達式，利用基本不等式可以求出 面積的最大值.

試題解析：

（1）設動點，因為軸于，所以，

設圓的方程為

由題意得，

所以圓的程為.

由題意, ，所以，

所以，即

將

代入圓,得動點的軌跡方程，

(Ⅱ)由題意設直線l設直線與橢圓交于

，聯立方程得，

，解得，

，

又因為點到直線的距離， .

面積的最大值為．