Question

【題目】函數.

（1）若函數在處取得極值，求a的值；

（2）若函數的圖象在直線圖象的下方，求a的取值范圍；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）利用得到，并利用極值的充分條件進行檢驗即可；

（2）由題意可得：，由，可化為．設，利用導數即可得到極值及其最值；

（3）由（2）可知：在上單調遞減，可得，化為，即，令，即可證明．

解：（1），．

函數在處取得極值，，即，解得．

，

當時，，函數在內單調遞減；

當時，，函數在內單調遞增．

函數在時取得極小值．

（2）由題意可得：，

，

，．

設，則，

令，解得，在區間上單調遞增；

令，解得，在區間上單調遞減．

在時取得極大值，即最大值， ．

．

（3）由（2）可知：在上單調遞減，

，

，化為，

，

令，可得．