Question

【題目】如圖（1），在平行四邊形中，，，，，分別為，的中點．現把四邊形沿折起，如圖（2）所示，連結，，．

（1）求證：；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題（1）取的中點，連接，，，可證，為正三角形，所以，，由線面垂直的判定定理可知平面，從而證得；（2）根據勾股定理可證得，所以，所以以為原點，以，，為，，軸建立空間直角坐標系，分別求出平面的法向量，求出法向量的夾角，由于二面角為鈍角，所以余弦值為負值.

試題解析：（1）取的中點，連接，，，

∵在平行四邊形中，，，，，分別為，的中點，

∴，為正三角形，

則，，

又∵，∴平面，

∵平面，

∴．

（2）∵，，，，分別為，的中點，

∴，，，

若，

則，

則三角形為直角三角形，則，

以為原點，以，，為，，軸建立空間直角坐標系，

則，，，，

則，則，，，

設平面的法向量為，

則令，則，，

則，

設平面的法向量為，則，

令，則，，即，

則，

由于二面角是鈍二面角，

∴二面角的余弦值是．