Question

【題目】設拋物線的頂點在坐標原點，焦點在軸正半軸上，過點的直線交拋物線于兩點，線段的長是， 的中點到軸的距離是.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）過點作斜率為的直線與拋物線交于兩點，直線交拋物線于，

①求證： 軸為的角平分線；

②若交拋物線于，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析， .

【解析】試題分析：（1）由定義，又，所以，拋物線的方程；（2）①設為， ，得到，所以軸為的角平分線；②，設直線為，則。

試題解析：

（1）設拋物線方程為， 由拋物線定義可,

又中點到軸距離為，則，故，所以拋物線的方程 .

(2) ①設，直線為,

，知則,

而,

又

故，則，所以軸為的角平分線.

②同理可得軸為的角平分線，故三點共線,

由拋物線的對稱性知,

則,

又則,

設直線為， ,

，則， ，

故，則 ,又，則.