Question

【題目】已知拋物線的焦點為，點與關于坐標原點對稱，直線垂直于軸，垂足為，與拋物線交于不同的兩點， ，且.

（1）求點的橫坐標.

（2）若以， 為焦點的橢圓過點

（ⅰ）求橢圓的標準方程；

（ⅱ）過點作直線與橢圓交于， 兩點，設，若，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）點的橫坐標為.（2）（ⅰ）（ⅱ）

【解析】試題分析：（1）由對稱性寫出坐標，同時由對稱性可設， ，由數量積的坐標運算可解得T點坐標。（2）由（1）得，待定系數及點在橢圓上可求得橢圓方程。由，得，且，結合韋達可求得，把通過坐標表示寫成關于k的函數關系，即可求得范圍。

試題解析：（1）由題意，得， ，

設， ，則， ，

由

得，即，①

又在拋物線上，則，②

聯立①②易得，則點的橫坐標為.

（2）（ⅰ）設橢圓的半焦距為，由題意，得

設橢圓的標準方程為（），

則，③

，④

將④代入③，解得或（舍去）

所以

故橢圓的標準方程為.

（ⅱ）由題意分析知直線的斜率不為，

設直線的方程為

將直線的方程代入中，得

設， ， ，則由根與系數的關系，

可得，⑤

⑥

因為，所以，且.

將⑤式平方除以⑥式，

得

由 ，所以

因為，

所以.

又，所以

故

令，因為

所以，即，

所以

而，所以

所以