Question

【題目】已知函數，其中為常數．

（1）若直線是曲線的一條切線，求實數的值；

（2）當時，若函數在上有兩個零點．求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）設切點， 由題意得，解方程組即可得結果；（2）函數在上有兩個零點等價于，函數 的圖象與直線有兩個交點，設，利用導數可得函數在處取得極大值，結合，，從而可得結果.

（1）函數的定義域為，，

曲線在點處的切線方程為.

由題意得

解得，.所以的值為1.

（2）當時，，則，

由，得，由，得，則有最小值為，即，

所以，，

由已知可得函數 的圖象與直線有兩個交點，

設，

則，

令，，

由，可知，所以在上為減函數，

由，得時，，當時，，

即當時，，當時，，

則函數在上為增函數，在上為減函數，

所以，函數在處取得極大值，

又，，

所以，當函數在上有兩個零點時，的取值范圍是，

即.