Question

【題目】已知函數f（x）=sin（2x+φ）+2sin2x（|φ|＜ ）的圖象過點（ ， ）．
（1）求函數f（x）在[0， ]的最小值；
（2）設角C為銳角，△ABC的內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，若x=C是曲線y=f（x）的一條對稱軸，且△ABC的面積為2 ，a+b=6，求邊c的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=sin（2x+φ）+2sin2x，

∵圖象過點（ ， ）．

∴ =sin（2× +φ）+2sin2 ，

得：sin（ +φ）=1，

∴ +φ= ，k∈Z，

∵|φ|＜ ，

∴φ= ．

∴函數f（x）=sin（2x+ ）+2sin2x= sin2x+ cos2x+1﹣cos2x=sin（2x﹣ ）+1．

∵x∈[0， ]，

∴2x﹣ ∈[ ， ]．

∴當2x﹣ = 時，f（x）取得最小值為

（2）解：由（1）可得f（x）=sin（2x﹣ ）+1．

其對稱軸方程為：2x﹣ = ，k∈Z，

∵x=C是曲線y=f（x）的一條對稱軸，即2C﹣ = ，C為銳角，k∈Z，

∴C= ．

又∵△ABC的面積為2 = absinC，

可得ab=8，a+b=6．

由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，得：c2=（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC=12

∴c=2

【解析】（1）圖象過點（ ， ）．求出φ，利用二倍角、和與差和輔助角公式化簡f（x），將內層函數作為整體，求出范圍，即可得f（x）在[0， ]的最小值；（2）求出f（x）的對稱軸，可得出C（注意C為銳角），根據△ABC的面積為2 ，a+b=6，利用余弦定理求出

邊c的長．