Question

【題目】已知點是圓：上任意一點，點與點關于原點對稱，線段的垂直平分線與交于點.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）過點的動直線與點的軌跡交于兩點，在軸上是否存在定點使以為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 在軸上存在定點，使以為直徑的圓恒過這個點.

【解析】試題分析：（1）由圓的方程求出F1、F2的坐標，結合題意可得點M的軌跡C為以F1，F2為焦點的橢圓，并求得a，c的值，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；

（2）直線l的方程可設為，設A（x1，y1），B（x2，y2），聯立直線方程與橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系求出A，B橫坐標的和與積，假設在y軸上是否存在定點Q（0，m），使以AB為直徑的圓恒過這個點，可得即．利用向量的坐標運算即可求得m值，即定點Q得坐標．

試題解析：

解：（1）由題意得，

∴點的軌跡為以為焦點的橢圓

∵，

∴

∴點的軌跡的方程為.

（2）當直線的斜率存在時，可設其方程為，設

聯立可得，

由求根公式可得

假設在軸上存在定點，使以為直徑的圓恒過這個點，

則即

∵

，

，

由解得

∴在軸上存在定點，使以為直徑的圓恒過這個點.

當直線的斜率不存在時，經檢驗可知也滿足以為直徑的圓恒過點.

因此在軸上存在定點，使以為直徑的圓恒過這個點.