Question

【題目】已知圖1中，四邊形 ABCD是等腰梯形，AB∥CD，EF∥CD，DM⊥AB于M、交EF于點N，DN=3 ，MN= ，現將梯形ABCD沿EF折起，記折起后C、D為C'、D'且使D'M=2 ，如圖2示．
（Ⅰ）證明：D'M⊥平面ABFE；，
（Ⅱ）若圖1中，∠A=60°，求點M到平面AED'的距離．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵AB∥CD，EF∥CD，DM⊥AB， ∴DM⊥EF，即D'N⊥EF，MN⊥EF，
又D'N∩MN=N，D′M平面D′MN，D′N平面D′MN，
∴EF⊥平面MND'，又∵D′M平面D′MN，
∴EF⊥D'M，
∵D′M=2 ，D′N=3 ，MN= ，
∴D'M2+MN2=D'N2 ， ∴D'M⊥MN，
又MN∩EF=N，MN平面ABFE，EF平面ABFE，
∴D'M⊥平面ABFE．
（Ⅱ） 在Rt△ADM中，∵∠A=60°，DN=4 ，
∴AM=4，A=8，
∵EF∥AB，∴ ，
∴DE=6，AE=2，
∴VD′﹣AEM= = =4 ，
在Rt△AD′M中，AD′= =2 ，
∴D′E2+AE2=AD′2 ，
∴D'E⊥AE， ，
設點M到平面AED'的距離為h，
則VM﹣AED′= S△AED′h=2h，
∴2h=4 ，解得 ，
∴點M到平面AED'的距離為 ．

【解析】（I）由EF⊥平面D′MN得D′M⊥EF，由勾股定理的逆定理得D′M⊥MN，從而D′M⊥平面ABFE；（II）根據三角形和相似三角形知識求出各棱長，根據VD′﹣AEM=VM﹣AED′列方程解出M到平面AED'的距離．
【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．