Question

【題目】已知f（x）=（ xinωx+cosωx）cosωx﹣ ，其中ω＞0，若f（x）的最小正周期為4π．
（1）求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）銳角三角形ABC中，（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=（ xinωx+cosωx）cosωx﹣

= sin2ωx+ cos2ωx

=sin（2ωx+ ），

∵最小正周期為4π，

∴ω= = ，可得：f（x）=sin（ x+ ），

∴令2kπ﹣ ≤ x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，可得：4kπ﹣ ≤x≤3kπ+ ，k∈Z，

∴f（x）的單調遞增區間為[4kπ﹣ ，3kπ+ ]，k∈Z

（2）解：∵（2a﹣c）cosB=bcosC，

∴（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，

整理得2sinAcosB=sinA，可得：cosB= ，解得：B= ，

∵銳角三角形ABC，

∴ ，

∴ ＜A＜ ，

∴ ＜ A+ ＜ ，可得： ＜f（A）＜

【解析】（1）利用三角函數恒等變換的應用化簡函數解析式可得f（x）=sin（2ωx+ ），利用周期公式可求ω，可得函數解析式：f（x）=sin（ x+ ），令2kπ﹣ ≤ x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，可得f（x）的單調遞增區間．（2）利用正弦定理化簡已知，整理得cosB= ，進而解得B= ，利用已知求得范圍 ＜ A+ ＜ ，根據正弦函數的性質可求f（A）的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正弦函數的單調性的相關知識，掌握正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數，以及對正弦定理的定義的理解，了解正弦定理:．