Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓的離心率為,且過點.設為橢圓的右焦點, 為橢圓上關于原點對稱的兩點,連結并延長,分別交橢圓于兩點.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)設直線的斜率分別為,是否存在實數,使得?若存在,求出實數的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在,使得.

【解析】分析：(1)在橢圓上，所以滿足橢圓方程，又離心率為，聯立兩個等式即可解出橢圓方程；(2),則,所以的方程為，聯立AF的方程和橢圓方程即可求得C點坐標，同理求得D點坐標，從而分析的比值.

詳解：(1)設橢圓的方程為，，

由題意知

解得所以橢圓的方程為.

(2)設,則,,又,

所以直線的方程為.

由消去，得

.

因為是該方程的一個解,所以點的橫坐標.

又點在直線上，

所以 ，從而點的坐標為(

同理,點的坐標為(，

所以 ，

即存在,使得.