Question

【題目】已知非單調數列{an}是公比為q的等比數列，a1＝，其前n項和為Sn(n∈N*)，且滿足S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數列．

(1)求數列{an}的通項公式和前n項和Sn；

(2)bn＝＋，求數列{bn}的前n項和Tn.

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析

【解析】

(1)由已知S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數列構造方程解出公比q，代入等比數列的通項公式和前n項和公式可求出an與Sn；(2)由(1)求出bn＝(－1)nn2＋，前半部分利用分類法和等差數列求和公式求和，后半部分利用錯位相減法和等比數列前n項和公式求和．

(1)∵S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數列，

∴2(S5＋a5)＝(S3＋a3)＋(S4＋a4)

∴a3＝4a5，q2＝，q＝－，

an＝·n－1，

∴Sn＝1－n.

(2)bn＝(－1)nn2Sn＋＝(－1)nn2＋＝(－1)nn2＋.

設(－1)nn2的前n項和為Hn，的前n項和為Qn

①當n為偶數時，

Hn＝－12＋22－32＋42＋…－(n－1)2＋n2＝1＋2＋3＋4＋…＋n－1＋n＝，

Qn＝1×＋2×2＋…＋n×n　①

Qn＝1×2＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1　②

①－②得， Qn＝＋2＋…＋n－n×n＋1＝1－，

∴Qn＝2－

∴Tn＝Hn＋Qn＝＋2－＝－

②當n為奇數時，

Hn＝－n2＝－，

∴Qn＝2－

∴Tn＝Hn＋Qn＝－＋2－＝－－

綜合①②，∴Tn＝