Question

【題目】已知數列{an}中，a1＝1且an﹣an﹣1＝3×（）n﹣2（n≥2，n∈N*）.

（1）求數列{an}的通項公式：

（2）若對任意的n∈N*，不等式1≤man≤5恒成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）an＝3﹣2×（）n﹣1（2）{m|1≤m}

【解析】

（1）由已知，根據遞推公式可得，，……，，所有式子累加可得；

（2）在（1）得出的基礎之上解不等式可得實數的取值范圍.

（1）由已知，根據遞推公式可得an﹣an﹣1＝3×（）n﹣2，an﹣1﹣an﹣2＝3×（）n﹣3，…，a2﹣a1＝3×（）0，

由累加法得，當n≥2時，an﹣a1＝3×（）0+3×（）1+…+3×（）n﹣2，

代入a1＝1得，n≥2時，an＝11+2×（1﹣（）n﹣1），

又a1＝1也滿足上式，故an＝3﹣2×（）n﹣1.

（2）由1≤man≤5，得1≤man＝m（3﹣2（）n﹣1）≤5.

因為3﹣2（）n﹣1＞0，

所以，

當n為奇數時，3﹣2（）n﹣1∈[1，3）；

當n為偶數時，3﹣2（）n﹣1∈（3，4]，

所以3﹣2（）n﹣1最大值為4，最小值為1.

對于任意的正整數n都有成立，

所以1≤m.

即所求實數m的取值范圍是{m|1≤m}.