Question

已知橢圓上的點到左右兩焦點的距離之和為，離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過右焦點的直線交橢圓于兩點，若軸上一點滿足，求直線的斜率的值.

Answer 1

（1）；（2）．

試題分析：（1）根據與離心率可求得a，b，c的值，從而就得到橢圓的方程；（2）設出直線的方程，并與橢圓方程聯立消去y可得到關于x的一元二次方程，然后利用中點坐標公式與分類討論的思想進行解決．
試題解析：（1），∴，
，∴，∴，
橢圓的標準方程為．
（2）已知,設直線的方程為，-，
聯立直線與橢圓的方程，化簡得：，
∴，，
∴的中點坐標為．
①當時，的中垂線方程為，
∵，∴點在的中垂線上，將點的坐標代入直線方程得：
，即，
解得或 ．
②當時，的中垂線方程為，滿足題意，
∴斜率的取值為.