Question

【題目】已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）且當x＞1時，f（x）＞0．
（1）判斷函數(shù)f（x）在其定義域（0，+∞）上的單調(diào)性并證明；
（2）解不等式f（x）+f（x﹣2）≤3．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增．

證明如下：

設(shè)0＜x1＜x2，則 ＞1，

∵當x＞1時，f（x）＞0恒成立，f（x）+f（ ）=0，

∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（ ）=f（ ）＞0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增

（2）解：∵f（x）+f（x﹣2）≤3=f（8），且函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增，

∴ ，解得：2＜x≤4，

∴不等式f（x）+f（x﹣2）≤3的解集為{x|2＜x≤4}

【解析】（1）設(shè)0＜x1＜x2 ＞1，依題意，利用單調(diào)性的定義可證得，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增；（2）f（x）+f（x﹣2）≤3f（x）+f（x﹣2）≤f（8） ，解之即可．