Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c和一次函數(shù)g（x）=﹣bx，其中a，b，c∈R且滿足a＞b＞c，f（1）=0．
（1）證明：函數(shù)f（x）與g（x）的圖象交于不同的兩點(diǎn)；
（2）若函數(shù)F（x）=f（x）﹣g（x）在[2，3]上的最小值為9，最大值為21，試求a，b的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由已知f（1）=0，得：a+b+c=0，

而a＞b＞c，

∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，

∴△=4b2﹣4ac＞0；

因此函數(shù)f（x）與g（x）圖象交于不同的兩點(diǎn)；

（2）解：由題意知，F(xiàn)（x）=ax2+2bx+c

∴函數(shù)F（x）的圖象的對稱軸方程為x=﹣ ，又∵a+b+c=0

∴x= =1+ ＜1

又a＞0

∴F（x）在[2，3]單增

∴ ，

即 ，

∴

【解析】（1）由已知中二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c和一次函數(shù)g（x）=﹣bx，分別求出a＞0，c＜0，易根據(jù)二次方程根的個(gè)數(shù)及△的關(guān)系，得到答案．（2）由題意可得F（x）=ax2+2bx+c，我們可根據(jù)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法，結(jié)合函數(shù)F（x）在[2，3]上的最小值是9，最大值為21，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解方程即可求出答案．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．